Упр.284 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 284. Найдите центр масс однородного полукруга радиуса R.

Пусть полукруг радиуса $$R$$ расположен симметрично относительно оси $$Oy$$, а его центр лежит в начале координат. Тогда абсцисса центра масс равна нулю:

$$x_c=0.$$

Найдём ординату центра масс. Площадь полукруга:

$$M=\frac{\pi R^2}{2}.$$

Для элементарной полоски на расстоянии $$r$$ от центра её длина равна

$$l=2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Тогда

$$ y_c=\frac{1}{M}\int_0^R r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}\,dr. $$

Сделаем замену:

$$u=R^2-r^2,\qquad du=-2r\,dr,$$

откуда

$$r\,dr=-\frac12\,du.$$

При $$r=0$$ имеем $$u=R^2$$, при $$r=R$$ имеем $$u=0$$. Тогда

$$ y_c=\frac{1}{M}\int_{R^2}^{0} 2\sqrt{u}\left(-\frac12\,du\right) =\frac{1}{M}\int_0^{R^2}\sqrt{u}\,du. $$

Вычислим интеграл:

$$ \int_0^{R^2}\sqrt{u}\,du =\left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_0^{R^2} =\frac{2}{3}R^3. $$

Следовательно,

$$ y_c=\frac{1}{M}\cdot \frac{2}{3}R^3 =\frac{2R^3}{3\cdot \frac{\pi R^2}{2}} =\frac{4R}{3\pi}. $$

Значит, центр масс полукруга имеет координаты

$$\left(0;\frac{4R}{3\pi}\right).$$

Ответ

$$\left(0;\frac{4R}{3\pi}\right)$$