Упр.284 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=2-\frac{4}{0{,}5x-1}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(2-\frac{4}{0{,}5x-1}\right)’=\frac{2}{(0{,}5x-1)^2}.$$

Так как $$f'(x)>0$$ при всех $$x\ne 2,$$ функция возрастает на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;\infty).$$

Ответ: $$(-\infty;2)$$ и $$(2;\infty)$$ — промежутки возрастания.

б) $$f(x)=|x-3|-2.$$

Раскроем модуль:

$$f(x)=\begin{cases} 1-x, & x\le 3,\\ x-5, & x>3. \end{cases}$$

Тогда

$$f'(x)=\begin{cases} -1, & x<3,\\ 1, & x>3. \end{cases}$$

При $$x=3$$ производная не существует. Значит, функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;\infty).$$

Ответ: $$[3;\infty)$$ — промежуток возрастания, $$(-\infty;3]$$ — промежуток убывания.

в) $$f(x)=8x^2-x^4.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(8x^2-x^4)’=16x-4x^3=-4x(x-2)(x+2).$$

Исследуем знак производной. Получаем:

$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(0;2),$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-2;0)\cup(2;\infty).$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]$$ и $$[2;\infty).$$

Ответ: $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;2]$$ — промежутки возрастания, $$[-2;0]$$ и $$[2;\infty)$$ — промежутки убывания.

г) $$f(x)=\left|\frac{1}{x}-1\right|.$$

Раскроем модуль, учитывая знак выражения $$\frac{1-x}{x}:$$

$$f(x)=\begin{cases} 1-\frac{1}{x}, & x\in(-\infty;0)\cup[1;\infty),\\ \frac{1}{x}-1, & x\in(0;1). \end{cases}$$

Тогда

$$f'(x)=\begin{cases} \frac{1}{x^2}, & x\in(-\infty;0)\cup(1;\infty),\\ -\frac{1}{x^2}, & x\in(0;1). \end{cases}$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;\infty),$$ убывает на $$(0;1].$$

Ответ: $$(-\infty;0)$$ и $$[1;\infty)$$ — промежутки возрастания, $$(0;1]$$ — промежуток убывания.