Упр.283 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 283. Однородная треугольная пластинка с основанием а=40 см и высотой h=30 см вращается вокруг основания с постоянной угловой скоростью ?=5?c^(-1). Найдите кинетическую энергию пластинки, если ее толщина d=0,2 см, а плотность материала, из которого изготовлена пластинка, равна ?=2,2 г/см^3. (Толщиной пластинки пренебречь.)

Подробный ответ

Рассмотрим пластинку как совокупность тонких горизонтальных полосок на расстоянии $$x$$ от основания. Длина такой полоски линейно убывает от $$a$$ до $$0$$, поэтому

$$ \frac{c(x)}{h-x}=\frac{a}{h}, \qquad c(x)=a\left(1-\frac{x}{h}\right). $$

Масса полоски толщины $$dx$$ равна

$$ dm=\rho d\,c(x)\,dx=\rho da\left(1-\frac{x}{h}\right)dx. $$

Момент инерции относительно основания:

$$ I=\int_0^h x^2\,dm=\int_0^h \rho da\left(1-\frac{x}{h}\right)x^2\,dx. $$

Вычислим интеграл:

$$ I=\rho da\int_0^h \left(x^2-\frac{x^3}{h}\right)dx =\rho da\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4h}\right)\Bigg|_0^h $$

$$ I=\rho da\left(\frac{h^3}{3}-\frac{h^3}{4}\right) =\rho da\cdot \frac{h^3}{12} =\frac{\rho dah^3}{12}. $$

Кинетическая энергия вращающегося тела:

$$ E=\frac{I\omega^2}{2}=\frac{\rho dah^3\omega^2}{24}. $$

Подставим данные:

$$ \rho=2{,}2\ \text{г/см}^3=2200\ \text{кг/м}^3,\quad d=0{,}2\ \text{см}=0{,}002\ \text{м}, $$
$$ a=40\ \text{см}=0{,}4\ \text{м},\quad h=30\ \text{см}=0{,}3\ \text{м},\quad \omega=5\pi\ \text{с}^{-1}. $$

$$ E=\frac{2200\cdot 0{,}002\cdot 0{,}4\cdot 0{,}3^3\cdot (5\pi)^2}{24}\approx 0{,}48. $$