Упр.283 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Однородная треугольная пластинка с основанием $$a=40\ \text{см}$$ и высотой $$h=30\ \text{см}$$ вращается вокруг основания с постоянной угловой скоростью $$\omega=5\ \text{с}^{-1}$$. Найдите кинетическую энергию пластинки, если её толщина $$d=0{,}2\ \text{см}$$, а плотность материала, из которого изготовлена пластинка, равна $$\rho=2{,}2\ \text{г/см}^3$$. Толщиной пластинки пренебречь.

Подробный ответ

Рассмотрим пластинку как совокупность тонких горизонтальных полосок на расстоянии $$x$$ от основания.

Ширина сечения на расстоянии $$x$$ равна

$$c(x)=a\left(1-\frac{x}{h}\right).$$

Тогда масса полоски толщины $$dx$$:

$$dm=\rho d\,c(x)\,dx=\rho da\left(1-\frac{x}{h}\right)dx.$$

Момент инерции относительно основания:

$$I=\int_0^h x^2\,dm =\rho da\int_0^h x^2\left(1-\frac{x}{h}\right)dx.$$

Вычислим интеграл:

$$I=\rho da\int_0^h \left(x^2-\frac{x^3}{h}\right)dx =\rho da\left(\frac{h^3}{3}-\frac{h^4}{4h}\right) =\rho da\left(\frac{h^3}{3}-\frac{h^3}{4}\right) =\frac{\rho dah^3}{12}.$$

Кинетическая энергия вращающейся пластинки:

$$E=\frac{I\omega^2}{2} =\frac{\rho dah^3\omega^2}{24}.$$

Подставим данные:

$$\rho=2{,}2\ \text{г/см}^3,\quad d=0{,}2\ \text{см},\quad a=40\ \text{см},\quad h=30\ \text{см},\quad \omega=5\pi\ \text{с}^{-1}.$$

Тогда

$$E=\frac{2{,}2\cdot 0{,}2\cdot 40\cdot 30^3\cdot (5\pi)^2}{24}\ \text{эрг}.$$

Переведём в джоули, учитывая, что $$1\ \text{эрг}=10^{-7}\ \text{Дж}$$:

$$E\approx 0{,}48\ \text{Дж}.$$