Упр.281 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Капля воды с начальной массой $$M$$ падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу $$m$$. Какова работа силы тяжести за время от начала падения капли до её полного испарения?

Время до полного испарения капли:

$$t=\frac{M}{m}.$$

Масса капли в момент времени $$t$$ равна

$$m(t)=M-mt.$$

Тогда сила тяжести:

$$F(t)=m(t)g=(M-mt)g,$$

а скорость свободного падения:

$$v(t)=gt.$$

Работа силы тяжести за всё время падения до полного испарения:

$$A=\int_0^{M/m} F(t)\,v(t)\,dt =\int_0^{M/m} (M-mt)g\cdot gt\,dt =\int_0^{M/m} (Mg^2t-mg^2t^2)\,dt.$$

Вычислим интеграл:

$$A=\left(\frac{Mg^2t^2}{2}-\frac{mg^2t^3}{3}\right)\Bigg|_0^{M/m} =\frac{Mg^2}{2}\cdot\frac{M^2}{m^2}-\frac{mg^2}{3}\cdot\frac{M^3}{m^3}.$$

$$A=\frac{M^3g^2}{2m^2}-\frac{M^3g^2}{3m^2} =\frac{M^3g^2}{6m^2}.$$

Ответ

$$\frac{g^2M^3}{6m^2}.$$