Упр.280 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=x^2+4x+a$$, $$a>0$$, $$x=0$$, $$x=2$$ и $$y=2$$, равна $$12$$? Известно, что фигура лежит в верхней полуплоскости.

Площадь фигуры равна площади между графиком функции $$y=x^2+4x+a$$ и прямой $$y=2$$ на отрезке $$[0;2]$$:

$$S=\int_0^2 \bigl(x^2+4x+a-2\bigr)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$S=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+(a-2)x\right)\Bigg|_0^2 =\frac{8}{3}+8+2a-4.$$

По условию $$S=12$$, значит

$$\frac{8}{3}+4+2a=12,$$

$$2a=12-4-\frac{8}{3}=\frac{16}{3},$$

$$a=\frac{8}{3}.$$

Ответ: $$\frac{8}{3}$$.