Упр.280 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 280. При каком значении a площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+4x+a (a > 0), x=0, x=2 и y=2, равна 12? (Известно, что фигура лежит в верхней полуплоскости.)

Площадь фигуры равна площади между графиком функции $$y=x^2+4x+a$$ и прямой $$y=2$$ на отрезке $$[0;2]$$:

$$S=\int_0^2 \bigl(x^2+4x+a-2\bigr)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$ S=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+(a-2)x\right)\Bigg|_0^2 $$

$$ S=\left(\frac{8}{3}+8+2a-4\right)-0=\frac{20}{3}+2a. $$

По условию $$S=12$$, значит

$$ \frac{20}{3}+2a=12 $$

$$ 2a=12-\frac{20}{3}=\frac{16}{3} $$

$$ a=\frac{8}{3}. $$

Ответ

$$\frac{8}{3}$$