Упр.280 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные и исследуем их знак.

а)

$$f(x)=-\frac{2}{x}+1$$

$$f'(x)=\left(-2x^{-1}+1\right)’=2x^{-2}=\frac{2}{x^2}$$

Так как $$\frac{2}{x^2}>0$$ при всех $$x\neq 0$$, то функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.

б)

$$f(x)=x^2(x-3)$$

$$f'(x)=\left(x^3-3x^2\right)’=3x^2-6x=3x(x-2)$$

Исследуем знак производной:

• при $$x\in(-\infty;0)$$ имеем $$f'(x)>0$$;
• при $$x\in(0;2)$$ имеем $$f'(x)<0$$;
• при $$x\in(2;+\infty)$$ имеем $$f'(x)>0$$.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$.

в)

$$f(x)=\frac{x-3}{x}$$

$$f'(x)=\left(\frac{x-3}{x}\right)’=\frac{3}{x^2}$$

Так как $$\frac{3}{x^2}>0$$ при всех $$x\neq 0$$, то функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.

г)

$$f(x)=x^3-27x$$

$$f'(x)=(x^3-27x)’=3x^2-27=3(x-3)(x+3)$$

Исследуем знак производной:

• при $$x\in(-\infty;-3)$$ имеем $$f'(x)>0$$;
• при $$x\in(-3;3)$$ имеем $$f'(x)<0$$;
• при $$x\in(3;+\infty)$$ имеем $$f'(x)>0$$.

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[3;+\infty)$$, убывает на $$[-3;3]$$.

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$;
в) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
г) возрастает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[3;+\infty)$$, убывает на $$[-3;3]$$.