Упр.280 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ площадь фигуры, ограниченной осью $$Ox$$, графиком функции $$y=x^3+3x^2+x+a$$ и вертикалями $$x=\text{const}$$ в точках экстремума этой функции, будет наименьшей?

Рассмотрим функцию $$y=x^3+3x^2+x+a.$$

Точки экстремума найдём из уравнения производной:

$$y'(x)=3x^2+6x+1,$$

$$3x^2+6x+1=0.$$

Тогда

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 1=36-12=24,$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{2\cdot 3}=\frac{-6\pm 2\sqrt6}{6}=\frac{-3\pm\sqrt6}{3}.$$

Обозначим

$$x_1=\frac{-3-\sqrt6}{3},\qquad x_2=\frac{-3+\sqrt6}{3}.$$

Площадь фигуры, ограниченной осью $$Ox$$, графиком функции и вертикалями, проведёнными через точки экстремума, равна

$$S=\int_{x_1}^{x_2}(x^3+3x^2+x+a)\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=\frac14x^4+x^3+\frac12x^2+ax.$$

Тогда

$$S=F(x_2)-F(x_1).$$

После подстановки получаем

$$S=\frac{2\sqrt6}{3}(1+a).$$

Так как площадь неотрицательна, наименьшее значение она принимает при

$$1+a=0,$$

откуда

$$a=-1.$$

Ответ

$$-1$$