Упр.278 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть за время $$t$$ первое тело прошло путь

$$S_1(t)=5t,$$

а второе тело — путь

$$S_2(t)=2t^2+t.$$

Угол между направлениями движения равен $$60^\circ$$, значит по теореме косинусов расстояние между телами:

$$AB^2=S_1^2+S_2^2-2S_1S_2\cos 60^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, получаем

$$AB^2=(5t)^2+(2t^2+t)^2-5t(2t^2+t).$$

Раскроем скобки:

$$AB^2=25t^2+(4t^4+4t^3+t^2)-10t^3-5t^2 =4t^4-6t^3+21t^2.$$

Следовательно,

$$AB=\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}.$$

Скорость удаления тел равна производной расстояния по времени:

$$v=\frac{d}{dt}\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2} =\frac{8t^3-9t^2+21t}{2\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}}.$$

Вынесем $$t$$ из-под корня:

$$\sqrt{4t^4-6t^3+21t^2}=t\sqrt{4t^2-6t+21}, \qquad t>0.$$

Тогда

$$v=\frac{8t^3-9t^2+21t}{2t\sqrt{4t^2-6t+21}} =\frac{8t^2-9t+21}{2\sqrt{4t^2-6t+21}}.$$

Ответ

$$v=\frac{8t^2-9t+21}{2\sqrt{4t^2-6t+21}}\ \text{км/ч}, \qquad t>0.$$