Упр.277 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 277. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2,5+2x-0,5x^2, x=-1 и касательной к данной параболе, проведенной через ее точку с абсциссой x=3.

Найдём уравнение касательной к параболе $$y=2{,}5+2x-0{,}5x^2$$ в точке с абсциссой $$x=3$$.

Производная:

$$y'(x)=2-x.$$

Тогда

$$y(3)=2{,}5+2\cdot 3-0{,}5\cdot 3^2=4,$$

$$y'(3)=2-3=-1.$$

Уравнение касательной:

$$y-4=-1(x-3),$$

откуда

$$y=7-x.$$

Теперь найдём площадь фигуры между прямой $$y=7-x$$ и параболой $$y=2{,}5+2x-0{,}5x^2$$ на отрезке $$[-1;3]$$:

$$S=\int\limits_{-1}^{3}\bigl((7-x)-(2{,}5+2x-0{,}5x^2)\bigr)\,dx.$$

Упростим подынтегральное выражение:

$$S=\int\limits_{-1}^{3}(4{,}5-3x+0{,}5x^2)\,dx.$$

Интегрируем:

$$S=\left(4{,}5x-\frac{3x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-1}^{3}.$$

Подставим пределы:

$$S=\left(4{,}5\cdot 3-\frac{3\cdot 3^2}{2}+\frac{3^3}{6}\right)-\left(4{,}5\cdot(-1)-\frac{3\cdot(-1)^2}{2}+\frac{(-1)^3}{6}\right).$$

$$S=18-12+\frac{14}{3}=10\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$10\frac{2}{3}$$