Упр.276 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=|x^2-1| и y=5+|x|; б) |y|=2x-x^2.
Рассмотрим случай а) $$y=|x^2-1|$$ и $$y=5+|x|.$$
Найдём точки пересечения графиков. Так как обе функции чётные, достаточно рассмотреть правую половину фигуры.
При $$x\ge 1$$ имеем $$|x^2-1|=x^2-1$$ и $$|x|=x,$$ поэтому
$$5+x=x^2-1,$$
$$x^2-x-6=0,$$
$$x=3 \text{ или } x=-2.$$
Для правой части подходит $$x=3,$$ тогда $$y=8.$$
На отрезке $$0\le x\le 1$$ имеем $$|x^2-1|=1-x^2$$ и $$|x|=x,$$ значит
$$5+x=1-x^2,$$
что решений не имеет. Следовательно, на правой половине фигуры площадь ограничена сверху прямой $$y=5+x$$, а снизу графиком $$y=|x^2-1|$$ на промежутках $$[0,1]$$ и $$[1,3].$$
Тогда
$$ \frac S2=\int\limits_0^1 \bigl((5+x)-(1-x^2)\bigr)\,dx+\int\limits_1^3 \bigl((5+x)-(x^2-1)\bigr)\,dx. $$
Упростим подынтегральные выражения:
$$ \frac S2=\int\limits_0^1 (4+x+x^2)\,dx+\int\limits_1^3 (6+x-x^2)\,dx. $$
Вычислим:
$$ \frac S2=\left(4x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1+\left(6x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_1^3. $$
$$ \frac S2=\left(4+\frac12+\frac13\right)+\left(18+\frac92-9-6-\frac12+\frac13\right). $$
$$ \frac S2=\frac{29}{6}+\frac{19}{3}=\frac{67}{6}. $$
Тогда
$$S=2\cdot \frac{67}{6}=\frac{67}{3}.$$
б) $$|y|=2x-x^2.$$
Так как $$|y|\ge 0,$$ то должно быть
$$2x-x^2\ge 0,$$
$$x(2-x)\ge 0,$$
откуда $$x\in[0,2].$$
Из равенства $$|y|=2x-x^2$$ получаем две ветви:
$$y=2x-x^2 \quad \text{и} \quad y=-(2x-x^2)=x^2-2x.$$
Искомая фигура — область между этими параболами на отрезке $$[0,2].$$ Тогда
$$ S=\int\limits_0^2 \bigl((2x-x^2)-(x^2-2x)\bigr)\,dx =\int\limits_0^2 (4x-2x^2)\,dx. $$
$$ S=\left(2x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\Bigg|_0^2 =8-\frac{16}{3} =\frac{8}{3}. $$
Ответ
а) $$\frac{67}{3}$$; б) $$\frac{8}{3}$$.
