Упр.276 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 276. Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая y=x+4 делит фигуру, ограниченную линиями y=1/2x^2 и y=8.

Подробный ответ

Найдём точки пересечения прямой $$y=x+4$$ с параболой $$y=\frac12x^2$$:

$$\frac12x^2=x+4$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm6}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=4.$$

Найдём точку пересечения прямой $$y=x+4$$ с прямой $$y=8$$:

$$x+4=8$$
$$x=4.$$

Парабола $$y=\frac12x^2$$ пересекает прямую $$y=8$$ при

$$\frac12x^2=8$$
$$x^2=16$$
$$x=\pm4.$$

Значит, вся фигура ограничена сверху прямой $$y=8$$, снизу параболой $$y=\frac12x^2$$, а прямая $$y=x+4$$ делит её на две части.

Площадь всей фигуры:

$$S=\int_{-4}^{4}\left(8-\frac12x^2\right)\,dx$$
$$=\left(8x-\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-4}^{4}$$
$$=\left(32-\frac{64}{6}\right)-\left(-32+\frac{64}{6}\right)=64-\frac{64}{3}=\frac{128}{3}.$$

Площадь одной части найдём по формуле:

$$S_1=\int_{-2}^{4}\left(x+4-\frac12x^2\right)\,dx$$
$$=\left(\frac{x^2}{2}+4x-\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-2}^{4}$$
$$=\left(8+16-\frac{64}{6}\right)-\left(2-8+\frac{8}{6}\right)=18.$$

Тогда площадь второй части:

$$S_2=S-S_1=\frac{128}{3}-18=\frac{74}{3}.$$