Упр.275 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) $$y=0{,}5x^2-2x+3$$, $$y=7-x$$; б) $$y=(x-2)^2$$, $$y=4-x^2$$; в) $$y=x^2-3x+4$$, $$y=x+1$$; г) $$y=x^2-2x+2$$, $$y=2+4x-x^2$$.

а) Найдём точки пересечения графиков:

$$0{,}5x^2-2x+3=7-x$$

$$0{,}5x^2-x-4=0$$

$$x^2-2x-8=0$$

$$D=4+32=36,$$

$$x_1=\frac{2-6}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{2+6}{2}=4.$$

На отрезке $$[-2;4]$$ сверху находится прямая $$y=7-x$$, поэтому

$$S=\int\limits_{-2}^{4}\bigl((7-x)-(0{,}5x^2-2x+3)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{4}(4+x-0{,}5x^2)\,dx.$$

$$S=\left(4x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\right)\Bigg|_{-2}^{4}=18.$$

б) Точки пересечения:

$$(x-2)^2=4-x^2$$

$$x^2-4x+4=4-x^2$$

$$2x^2-4x=0$$

$$x(x-2)=0,\qquad x_1=0,\ x_2=2.$$

На отрезке $$[0;2]$$ сверху график $$y=4-x^2$$, значит

$$S=\int\limits_{0}^{2}\bigl((4-x^2)-(x-2)^2\bigr)\,dx=\int\limits_{0}^{2}(4x-2x^2)\,dx.$$

$$S=\left(2x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2}=\frac{8}{3}.$$

в) Точки пересечения:

$$x^2-3x+4=x+1$$

$$x^2-4x+3=0$$

$$D=16-12=4,$$

$$x_1=1,\qquad x_2=3.$$

На отрезке $$[1;3]$$ сверху прямая $$y=x+1$$, поэтому

$$S=\int\limits_{1}^{3}\bigl((x+1)-(x^2-3x+4)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}=\frac{4}{3}.$$

г) Точки пересечения:

$$x^2-2x+2=2+4x-x^2$$

$$2x^2-6x=0$$

$$x(x-3)=0,\qquad x_1=0,\ x_2=3.$$

На отрезке $$[0;3]$$ сверху график $$y=2+4x-x^2$$, значит

$$S=\int\limits_{0}^{3}\bigl((2+4x-x^2)-(x^2-2x+2)\bigr)\,dx=\int\limits_{0}^{3}(6x-2x^2)\,dx.$$

$$S=\left(3x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{3}=9.$$

Ответ

а) $$18$$; б) $$\frac{8}{3}$$; в) $$\frac{4}{3}$$; г) $$9$$.