Упр.274 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите площадь фигуры, состоящей из точек, лежащих внутри эллипса. Эллипсом называется фигура, координаты точек которой удовлетворяют равенству $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$.

Пусть эллипс задан уравнением

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Тогда в первой четверти его уравнение можно записать так:

$$y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}.$$

Площадь всего эллипса в 4 раза больше площади его четверти:

$$\frac{S}{4}=\int\limits_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx.$$

Сделаем замену:

$$x=a\sin\alpha,\qquad dx=a\cos\alpha\,d\alpha.$$

При этом

$$x=0 \Rightarrow \alpha=0,\qquad x=a \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\frac{S}{4}=\int\limits_0^{\pi/2} b\sqrt{1-\sin^2\alpha}\cdot a\cos\alpha\,d\alpha =\int\limits_0^{\pi/2} ab\cos^2\alpha\,d\alpha.$$

Используем формулу

$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}.$$

Получаем

$$\frac{S}{4}=\frac{ab}{2}\int\limits_0^{\pi/2}(1+\cos 2\alpha)\,d\alpha =\frac{ab}{2}\left(\alpha+\frac12\sin 2\alpha\right)\Bigg|_0^{\pi/2}.$$

Следовательно,

$$\frac{S}{4}=\frac{ab}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi ab}{4}.$$

Значит,

$$S=\pi ab.$$

Ответ: $$\pi ab$$.