Упр.273 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (-2; 2)?||x|-1|dx; б) (-1; 1)?v(1-x^2)dx;
в) (0; 3)?|x^2-1|dx; г) (0; 5)?|{x}-1/2|dx.

1. $$S=\int_{-2}^{2}\left||x|-1\right|\,dx.$$

   График функции симметричен относительно оси $$Oy$$, поэтому достаточно рассмотреть одну четверть и умножить площадь на $$4$$. На отрезке $$[0;2]$$ получаем два одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $$1$$ и $$1$$.

   $$S=4\cdot \frac12\cdot 1\cdot 1=2.$$

2. $$S=\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx.$$

   Функция $$y=\sqrt{1-x^2}$$ задаёт верхнюю полуокружность радиуса $$1$$:

   $$x^2+y^2=1.$$

   Тогда искомый интеграл равен площади полуокружности:

   $$S=\frac12\pi r^2=\frac12\pi\cdot 1^2=\frac{\pi}{2}.$$

3. $$S=\int_{0}^{3}\left|x^2-1\right|\,dx.$$

   На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$x^2-1\le 0$$, а на отрезке $$[1;3]$$ — $$x^2-1\ge 0$$. Поэтому

   $$ S=\int_{0}^{1}(1-x^2)\,dx+\int_{1}^{3}(x^2-1)\,dx. $$

   Вычислим:

   $$ S=\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}+\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Bigg|_{1}^{3} =\left(1-\frac13\right)+\left(9-3-\frac13+1\right). $$

   $$S=\frac23+\frac{16}{3}=\frac{18}{3}=6.$$

4. $$S=\int_{0}^{5}\left\{x\right\}-\frac12\,dx.$$

   На каждом промежутке $$[k;k+1]$$, где $$k=0,1,2,3,4$$, функция $$\{x\}$$ линейно возрастает от $$0$$ до $$1$$, поэтому график $$\{x\}-\frac12$$ на каждом таком промежутке образует два равных треугольника с общей площадью

   $$\frac12\cdot 1\cdot \frac12=\frac14.$$

   За пять таких промежутков получаем

   $$S=5\cdot \frac14=\frac54=1{,}25.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$; в) $$6$$; г) $$1{,}25$$.