Упр.272 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (0; 2?)?cos^2(nx)dx (n?N);
б) (0; 2?)?sin(kx)cos(mx)dx (m?N, k?N);
в) (-?; ?)?sin^2(x)dx; г) (0; ?)sin(3x)cos(5x)dx.

1. а) Используем формулу $$\cos^2 nx=\frac{1+\cos 2nx}{2}$$:

   $$ \int\limits_0^{2\pi}\cos^2 nx\,dx = \int\limits_0^{2\pi}\frac{1+\cos 2nx}{2}\,dx = \left.\frac{x}{2}+\frac{\sin 2nx}{4n}\right|_0^{2\pi}. $$

   $$ \left.\frac{x}{2}+\frac{\sin 2nx}{4n}\right|_0^{2\pi} = \frac{2\pi}{2}-0 = \pi. $$

2. б) Применим формулу произведения в сумму:

   $$ \sin kx\cos mx=\frac{\sin (k+m)x+\sin (k-m)x}{2}. $$

   $$ \int\limits_0^{2\pi}\sin kx\cos mx\,dx = \frac12\int\limits_0^{2\pi}\sin (k+m)x\,dx + \frac12\int\limits_0^{2\pi}\sin (k-m)x\,dx. $$

   Для любого целого $k,m$ значения синуса на концах отрезка $[0;2\pi]$ одинаковы, поэтому оба интеграла равны нулю. Следовательно,
   $$ \int\limits_0^{2\pi}\sin kx\cos mx\,dx=0. $$

3. в) Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:

   $$ \int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x\,dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \left.\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right|_{-\pi}^{\pi}. $$

   $$ \left.\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right|_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi. $$

4. г) Преобразуем произведение:

   $$ \sin 3x\cos 5x=\frac{\sin 8x-\sin 2x}{2}. $$

   $$ \int\limits_0^{\pi}\sin 3x\cos 5x\,dx = \frac12\int\limits_0^{\pi}(\sin 8x-\sin 2x)\,dx = \frac12\left.\left(-\frac{\cos 8x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}\right)\right|_0^{\pi}. $$

   $$ \frac12\left[\left(-\frac{\cos 8\pi}{8}+\frac{\cos 2\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\cos 0}{8}+\frac{\cos 0}{2}\right)\right] = \frac12\left[\left(-\frac18+\frac12\right)-\left(-\frac18+\frac12\right)\right] = 0. $$

Ответ

а) $$\pi$$; б) $$0$$; в) $$\pi$$; г) $$0$$.