Упр.272 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 272. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)=sin(t)cos(t). Найдите уравнение движения точки, если при t=?/4 ее координата равна 3.

Скорость равна производной координаты:

$$x'(t)=v(t)=\sin t\cos t.$$

Используем формулу

$$\sin t\cos t=\frac{1}{2}\sin 2t.$$

Тогда

$$x'(t)=\frac{1}{2}\sin 2t.$$

Интегрируем:

$$x(t)=\int \frac{1}{2}\sin 2t\,dt=-\frac{1}{4}\cos 2t+C.$$

Из условия $$x\left(\frac{\pi}{4}\right)=3$$ получаем:

$$3=-\frac{1}{4}\cos\frac{\pi}{2}+C.$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{2}=0,$$ то

$$C=3.$$

Следовательно, уравнение движения:

$$x(t)=3-\frac{1}{4}\cos 2t.$$

Ответ

$$x(t)=3-\frac{1}{4}\cos 2t.$$