Упр.272 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\int_0^{2\pi}\cos^2(nx)\,dx$$ $$\left(n\in\mathbb{N}\right)$$; б) $$\int_0^{2\pi}\sin(kx)\cos(mx)\,dx$$ $$\left(m\in\mathbb{N},\ k\in\mathbb{N}\right)$$; в) $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(x)\,dx$$; г) $$\int_0^{\pi}\sin(3x)\cos(5x)\,dx$$.

а) Используем формулу $$\cos^2 nx=\frac{1+\cos 2nx}{2}.$$ Тогда

$$S=\int_0^{2\pi}\cos^2 nx\,dx =\int_0^{2\pi}\frac{1+\cos 2nx}{2}\,dx =\left.\frac{x}{2}+\frac{\sin 2nx}{4n}\right|_0^{2\pi}.$$

Так как $$\sin 4\pi n=0,$$ получаем

$$S=\frac{2\pi}{2}-0=\pi.$$

б) Применим формулу произведения в сумму:

$$\sin kx\cos mx=\frac{\sin (k+m)x+\sin (k-m)x}{2}.$$

Тогда

$$S=\int_0^{2\pi}\sin kx\cos mx\,dx =\frac12\int_0^{2\pi}\bigl(\sin (k+m)x+\sin (k-m)x\bigr)\,dx.$$

Интеграл от синуса на отрезке длины $$2\pi$$ равен нулю, значит

$$S=0.$$

в) Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$ Тогда

$$S=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx =\left.\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right|_{-\pi}^{\pi}.$$

Так как $$\sin 2\pi=\sin(-2\pi)=0,$$ получаем

$$S=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi.$$

г) Преобразуем произведение:

$$\sin 3x\cos 5x=\frac{\sin 8x-\sin 2x}{2}.$$

Тогда

$$S=\int_0^{\pi}\sin 3x\cos 5x\,dx =\frac12\int_0^{\pi}(\sin 8x-\sin 2x)\,dx.$$

Интегрируя, получаем

$$S=\frac12\left.\left(-\frac{\cos 8x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}\right)\right|_0^{\pi}.$$

Подставим пределы:

$$S=\frac12\left(\,-\frac{\cos 8\pi}{8}+\frac{\cos 2\pi}{2}+\frac{\cos 0}{8}-\frac{\cos 0}{2}\right)=0.$$

Ответ

а) $$\pi$$; б) $$0$$; в) $$\pi$$; г) $$0$$.