Упр.270 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите:

а) $$\int_{0}^{28}\frac{5-x}{\left(1+\frac{x}{4}\right)^{1/3}}\,dx$$;

б) $$\int_{0}^{1}xe^{x^2}\,dx$$;

в) $$\int_{-2}^{0}x\left(1-\frac{x}{2}\right)^{1/3}\,dx$$;

г) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos^2(x)+\cos^4(x)\right)\,dx$$.

Подробный ответ

а) Сделаем замену переменной:

$$y=1+\frac{x}{4}, \qquad x=4y-4, \qquad dx=4\,dy.$$

Тогда при $$x=0$$ имеем $$y=1$$, а при $$x=28$$ имеем $$y=8$$. Получаем:

$$\int_0^{28}\frac{5-x}{\sqrt[3]{1+\frac{x}{4}}}\,dx = \int_1^8 \frac{5-(4y-4)}{y^{1/3}}\cdot 4\,dy = \int_1^8 \left(36y^{-1/3}-16y^{2/3}\right)dy.$$

$$\int \left(36y^{-1/3}-16y^{2/3}\right)dy = 54y^{2/3}-\frac{48}{5}y^{5/3}.$$

Тогда

$$S=\left(54y^{2/3}-\frac{48}{5}y^{5/3}\right)\Bigg|_1^8 = \left(54\cdot 4-\frac{48}{5}\cdot 32\right)-\left(54-\frac{48}{5}\right) = -\frac{678}{5}.$$

б) Положим $$y=x^2$$, тогда $$dy=2x\,dx$$, то есть $$x\,dx=\frac{1}{2}dy$$. При $$x=0$$ получаем $$y=0$$, при $$x=1$$ — $$y=1$$:

$$\int_0^1 xe^{x^2}\,dx = \frac12\int_0^1 e^y\,dy = \frac12 e^y\Big|_0^1 = \frac{e-1}{2}.$$

в) Сделаем замену:

$$y=1-\frac{x}{2}, \qquad x=2-2y, \qquad dx=-2\,dy.$$

При $$x=-2$$ имеем $$y=2$$, при $$x=0$$ — $$y=1$$. Тогда

$$\int_{-2}^0 x\sqrt[3]{1-\frac{x}{2}}\,dx = \int_2^1 (2-2y)y^{1/3}(-2)\,dy = \int_1^2 \left(4y^{4/3}-4y^{1/3}\right)dy.$$

$$\int \left(4y^{4/3}-4y^{1/3}\right)dy = \frac{12}{7}y^{7/3}-3y^{4/3}.$$

Следовательно,

$$S=\left(\frac{12}{7}y^{7/3}-3y^{4/3}\right)\Bigg|_1^2 = \frac{12}{7}\cdot 2^{7/3}-3\cdot 2^{4/3}-\frac{12}{7}+3.$$

г) Используем формулы:

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos^4 x=\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{1+2\cos 2x+\cos^2 2x}{4}.$$

Тогда