Упр.27 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) отрезки, на которые прямая делит сторону ВС, если AB=22,5 см, AE=18 см, BC=15 см;
б) площади фигур, на которые делится треугольник АВС, если AB=7,5 см, AE=5 см, а площадь треугольника АВС равна 72 см^2.

а) Так как прямая через точку $E$ параллельна стороне $AC$, то треугольники $BEF$ и $BAC$ подобны. Поэтому

$$\frac{AE}{AB}=\frac{CF}{BC}.$$

Найдём $CF$:

$$CF=\frac{AE\cdot BC}{AB}=\frac{18\cdot 15}{22{,}5}=12\text{ см}.$$

Тогда

$$BF=BC-CF=15-12=3\text{ см}.$$

б) Сначала найдём отношение подобных треугольников:

$$\frac{BE}{BA}=\frac{AB-AE}{AB}=\frac{7{,}5-5}{7{,}5}=\frac{2{,}5}{7{,}5}=\frac13.$$

Следовательно, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac13\right)^2=\frac19.$$

Тогда

$$S_{BEF}=\frac19\cdot 72=8\text{ см}^2.$$

Площадь четырёхугольника $AEFC$ равна разности:

$$S_{AEFC}=S_{ABC}-S_{BEF}=72-8=64\text{ см}^2.$$

Ответ

а) $12$ см и $3$ см; б) $8\text{ см}^2$ и $64\text{ см}^2$.