Упр.269 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=2/x, M(1/e; 2); б) f(x)=x^(-2)+cos(x), M(?/2; -2/?);
в) f(x)=x^(-4), M(2; -3); г) f(x)=sin(2x), M(0; 1).

1. а) Найдём первообразную для $$f(x)=\frac{2}{x}$$:

   $$F(x)=2\ln|x|+C.$$

   Так как график проходит через точку $$M\left(\frac{1}{e};\,2\right),$$ то

   $$2\ln\left|\frac{1}{e}\right|+C=2,$$

   $$2(-1)+C=2,$$

   $$C=4.$$

   Следовательно, $$F(x)=2\ln|x|+4.$$

2. б) Для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x$$ имеем:

   $$F(x)=\int \left(x^{-2}+\cos x\right)\,dx=-\frac{1}{x}+\sin x+C.$$

   Из условия $$M\left(\frac{\pi}{2};-\frac{2}{\pi}\right)$$ получаем:

   $$-\frac{1}{\pi/2}+\sin\frac{\pi}{2}+C=-\frac{2}{\pi},$$

   $$-\frac{2}{\pi}+1+C=-\frac{2}{\pi},$$

   $$C=-1.$$

   Значит,

   $$F(x)=-\frac{1}{x}+\sin x-1.$$

3. в) Для $$f(x)=x^{-4}$$:

   $$F(x)=\int x^{-4}\,dx=-\frac{1}{3x^3}+C.$$

   Так как график проходит через точку $$M(2;\,-3),$$ то

   $$-\frac{1}{3\cdot 2^3}+C=-3,$$

   $$-\frac{1}{24}+C=-3,$$

   $$C=-3+\frac{1}{24}=-\frac{71}{24}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\frac{1}{3x^3}-\frac{71}{24}.$$

4. г) Для $$f(x)=\sin 2x$$:

   $$F(x)=\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C.$$

   Из условия $$M(0;\,1)$$:

   $$-\frac{1}{2}\cos 0+C=1,$$

   $$-\frac{1}{2}+C=1,$$

   $$C=\frac{3}{2}.$$

   Значит,

   $$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}.$$

Ответ

а) $$2\ln|x|+4$$; б) $$-\frac{1}{x}+\sin x-1$$; в) $$-\frac{1}{3x^3}-\frac{71}{24}$$; г) $$-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}$$.