Упр.269 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

269. Воспользуйтесь результатами задачи 268 и вычислите: а) $$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\tg x+\sin x)\,dx$$; б) $$\int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx$$.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\tg x+\sin x.$$

Она нечётная, так как

$$f(-x)=\tg(-x)+\sin(-x)=-\tg x-\sin x=-f(x).$$

Тогда на симметричном промежутке

$$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}(\tg x+\sin x)\,dx=0.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=x\cos x.$$

Она тоже нечётная, поскольку

$$f(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-f(x).$$

Следовательно,

$$\int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx=0.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$0$$.