Упр.268 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $$f(x)=4\sin(x)+\cos(3x)$$;

б) $$f(x)=x^2+x^{-5}+x^{2+\sqrt{3}}$$;

в) $$f(x)=2+\frac{3}{x-1}$$;

г) $$f(x)=\frac{2}{\cos^2(2x)}+\frac{3}{\sin^2(3x)}$$.

Найдём первообразные, используя формулы:

$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,\qquad \int \cos kx\,dx=\frac{1}{k}\sin kx+C,$$

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1),\qquad \int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C,$$

$$\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x+C,\qquad \int \frac{dx}{\sin^2 x}=-\ctg x+C.$$

Ход решения

а) $$f(x)=4\sin x+\cos 3x.$$

Тогда

$$F(x)=4\int \sin x\,dx+\int \cos 3x\,dx=-4\cos x+\frac{1}{3}\sin 3x+C.$$

б) $$f(x)=x^2+x^{-5}+x^{2+\sqrt3}.$$

Интегрируем по частям суммы:

$$F(x)=\int x^2\,dx+\int x^{-5}\,dx+\int x^{2+\sqrt3}\,dx$$

$$F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^{-4}}{4}+\frac{x^{3+\sqrt3}}{3+\sqrt3}+C.$$

в) $$f(x)=2+\frac{3}{x-1},\qquad x\ne 1.$$

Тогда

$$F(x)=\int 2\,dx+3\int \frac{dx}{x-1}=2x+3\ln|x-1|+C.$$

г) $$f(x)=\frac{2}{\cos^2 2x}+\frac{3}{\sin^2 3x}.$$

Используем замену:

$$\int \frac{2}{\cos^2 2x}\,dx=2\int \frac{dx}{\cos^2 2x}=\tg 2x,$$

$$\int \frac{3}{\sin^2 3x}\,dx=3\int \frac{dx}{\sin^2 3x}=-\ctg 3x.$$

Следовательно,

$$F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C.$$

Ответ

$$\text{а) }F(x)=\frac{1}{3}\sin 3x-4\cos x+C;$$

$$\text{б) }F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^{-4}}{4}+\frac{x^{3+\sqrt3}}{3+\sqrt3}+C;$$

$$\text{в) }F(x)=2x+3\ln|x-1|+C;$$

$$\text{г) }F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C.$$