Упр.267 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 267. Докажите, что графики функций f(x)=(x+2)^2 и g(x)=2-x^2 имеют общую точку и общую касательную, проходящую через эту точку.

Найдём общую точку графиков функций $$f(x)=(x+2)^2$$ и $$g(x)=2-x^2.$$

Приравняем значения функций:

$$ (x+2)^2=2-x^2 $$

$$ x^2+4x+4=2-x^2 $$

$$ 2x^2+4x+2=0 $$

$$ x^2+2x+1=0 $$

$$ (x+1)^2=0 $$

Отсюда $$x=-1.$$ Тогда

$$ y=f(-1)=(-1+2)^2=1. $$

Значит, общая точка графиков — $$(-1;1).$$

Проверим, что в этой точке у графиков общая касательная. Найдём производные:

$$ f'(x)=2(x+2), \qquad g'(x)=-2x. $$

В точке $$x=-1$$ получаем:

$$ f'(-1)=2(-1+2)=2, $$

$$ g'(-1)=-2\cdot(-1)=2. $$

У графиков в общей точке одинаковые угловые коэффициенты касательных, значит, касательная общая.

Ответ

Графики имеют общую точку $$(-1;1)$$ и общую касательную в этой точке.