Упр.265 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 265. Найдите первообразные для функций e^x sin(x) и e^x cos(x).

Ищем первообразные в виде

$$F(x)=Ae^x\sin x+Be^x\cos x+C.$$

Тогда

$$F'(x)=Ae^x\sin x+Ae^x\cos x+Be^x\cos x-Be^x\sin x,$$

то есть

$$F'(x)=(A-B)e^x\sin x+(A+B)e^x\cos x.$$

1) Для функции $$e^x\sin x$$ получаем систему

$$A-B=1,\qquad A+B=0.$$

Отсюда

$$2A=1,\qquad A=\frac12,\qquad B=-\frac12.$$

Значит, первообразная:

$$\int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C.$$

2) Для функции $$e^x\cos x$$ получаем систему

$$A-B=0,\qquad A+B=1.$$

Отсюда

$$A=B,\qquad 2B=1,\qquad A=B=\frac12.$$

Значит, первообразная:

$$\int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C.$$

Ответ

$$\int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C,\qquad \int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C.$$