Упр.265 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 265. Докажите, что любая касательная к графику функции f(x)=x^3+1/2x^2+x-3 пересекает ось абсцисс.

Подробный ответ

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3+\frac12x^2+x-3,$$

$$f'(x)=3x^2+x+1.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$3x^2+x+1.$$ Его дискриминант равен

$$D=1-4\cdot 3\cdot 1=-11<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$3x^2+x+1>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$ Значит, угловой коэффициент любой касательной к графику функции положителен.

Уравнение касательной в точке $$x_0$$ имеет вид

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс, положим $$y=0$$:

$$0=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

откуда

$$x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.$$

Так как $$f'(x_0)\neq 0$$ при любом $$x_0$$, то это уравнение всегда имеет единственное решение. Следовательно, любая касательная к графику функции пересекает ось абсцисс.