Упр.264 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 264. Найдите функцию у, если известно, что y’y^2=2 и y(2)=2.

Дано уравнение:

$$y’y^2=2,$$

где $$y’=\frac{dy}{dx}.$$ Тогда

$$y^2\frac{dy}{dx}=2.$$

Умножим на $$dx$$:

$$y^2\,dy=2\,dx.$$

Интегрируем обе части:

$$\int y^2\,dy=\int 2\,dx,$$

$$\frac{y^3}{3}=2x+C.$$

Умножим на $$3$$:

$$y^3=6x+C_1.$$

Используем условие $$y(2)=2$$:

$$2^3=6\cdot 2+C_1,$$

$$8=12+C_1,$$

$$C_1=-4.$$

Следовательно,

$$y^3=6x-4,$$

откуда

$$y=\sqrt[3]{6x-4}.$$

Ответ

$$y=\sqrt[3]{6x-4}.$$