Упр.264 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. Для приближённых вычислений используем формулы линейного приближения:

   $$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x,$$

   где $$x=x_0+\Delta x$$, а $$x_0$$ — удобное значение, близкое к данному углу.

2. а) $$\tg 44^\circ$$

   Возьмём $$x_0=45^\circ=\frac{\pi}{4}$$, тогда $$\Delta x=-1^\circ=-\frac{\pi}{180}.$$

   Пусть $$f(x)=\tg x.$$ Тогда

   $$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

   Следовательно,

   $$\tg 44^\circ \approx \tg \frac{\pi}{4}+\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}\left(-\frac{\pi}{180}\right).$$

   Так как $$\tg \frac{\pi}{4}=1$$, $$\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$, то

   $$\tg 44^\circ \approx 1+\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}\left(-\frac{\pi}{180}\right)=1+2\left(-\frac{\pi}{180}\right)=1-\frac{\pi}{90}\approx 0{,}966.$$

3. б) $$\cos 61^\circ$$

   Возьмём $$x_0=60^\circ=\frac{\pi}{3}$$, тогда $$\Delta x=1^\circ=\frac{\pi}{180}.$$

   Пусть $$f(x)=\cos x.$$ Тогда

   $$f'(x)=-\sin x.$$

   Получаем

   $$\cos 61^\circ \approx \cos \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{3}\cdot \frac{\pi}{180}.$$

   Так как $$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12$$, $$\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},$$ то

   $$\cos 61^\circ \approx \frac12-\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\pi}{180}=\frac12-\frac{\sqrt3\pi}{360}\approx 0{,}4849.$$

4. в) $$\sin 31^\circ$$

   Возьмём $$x_0=30^\circ=\frac{\pi}{6}$$, тогда $$\Delta x=1^\circ=\frac{\pi}{180}.$$

   Пусть $$f(x)=\sin x.$$ Тогда

   $$f'(x)=\cos x.$$

   Следовательно,

   $$\sin 31^\circ \approx \sin \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{6}\cdot \frac{\pi}{180}.$$

   Так как $$\sin \frac{\pi}{6}=\frac12$$, $$\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},$$ то

   $$\sin 31^\circ \approx \frac12+\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\pi}{180}=\frac12+\frac{\sqrt3\pi}{360}\approx 0{,}5151.$$

5. г) $$\ctg 47^\circ$$

   Возьмём $$x_0=45^\circ=\frac{\pi}{4}$$, тогда $$\Delta x=2^\circ=\frac{\pi}{90}.$$

   Пусть $$f(x)=\ctg x.$$ Тогда

   $$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$

   Имеем

   $$\ctg 47^\circ \approx \ctg \frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{4}}\cdot \frac{\pi}{90}.$$

   Так как $$\ctg \frac{\pi}{4}=1$$, $$\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ то

   $$\ctg 47^\circ \approx 1-\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}\cdot \frac{\pi}{90}=1-2\cdot \frac{\pi}{90}=1-\frac{\pi}{45}\approx 0{,}9302.$$

Ответ

$$\tg 44^\circ \approx 0{,}966,\quad \cos 61^\circ \approx 0{,}4849,\quad \sin 31^\circ \approx 0{,}5151,\quad \ctg 47^\circ \approx 0{,}9302.$$