Упр.263 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите тождество с помощью признака постоянства функции:
а) $$\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{?}{2}$$;
б) $$\operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arcctg}(x)=\frac{?}{2}$$.
Рассмотрим функцию $$f(x)=\arcsin x+\arccos x.$$
Её область определения: $$x\in[-1;1].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0.$$
Значит, на всей области определения функция постоянна. Найдём её значение при $$x=0$$:
$$f(0)=\arcsin 0+\arccos 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно,
$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$
Аналогично для функции $$g(x)=\arctg x+\arcctg x.$$
Её область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0.$$
Значит, функция постоянна. При $$x=0$$ получаем:
$$g(0)=\arctg 0+\arcctg 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$
Следовательно,
$$\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$
Ответ: $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2},\qquad \arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$
