Упр.262 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 262. Пользуясь результатами задач 260—261, докажите, что любое решение дифференциального уравнения x»(t)=-?^2x(t) может быть записано в виде x=Acos(?t+?).

Из результатов задач 260—261 известно, что общее решение уравнения

$$x»(t)=-\omega^2x(t)$$

имеет вид

$$x(t)=C_1\cos \omega t+C_2\sin \omega t,$$

где $$C_1$$ и $$C_2$$ — произвольные постоянные.

Преобразуем это выражение к виду одной косинусоиды. Обозначим

$$A=\sqrt{C_1^2+C_2^2}.$$

Тогда можно выбрать угол $$\varphi$$ так, чтобы

$$\cos \varphi=\frac{C_1}{A}, \qquad \sin \varphi=\frac{C_2}{A}.$$

Используя формулу косинуса суммы, получаем:

$$ A\cos(\omega t-\varphi) = A(\cos \omega t\cos \varphi+\sin \omega t\sin \varphi) = C_1\cos \omega t+C_2\sin \omega t. $$

Значит, любое решение можно записать в виде

$$x(t)=A\cos(\omega t-\varphi).$$

Так как сдвиг фазы можно обозначить другой постоянной, то это равносильно записи

$$x(t)=A\cos(\omega t+\psi),$$

где $$A$$ и $$\psi$$ — произвольные постоянные.

Ответ

Любое решение уравнения $$x»(t)=-\omega^2x(t)$$ имеет вид $$x=A\cos(\omega t+\psi)$$.