Упр.261 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что существует решение уравнения $$x»(t)=-?^2x(t)$$, имеющее вид $$x=A\cos(?t+?)$$ и удовлетворяющее начальным условиям $$x(0)=x_0,\quad x'(0)=v_0$$.
Пусть
$$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).$$
Тогда
$$x'(t)=-\omega A\sin(\omega t+\varphi),$$
$$x»(t)=-\omega^2A\cos(\omega t+\varphi).$$
Но так как $$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),$$ то
$$x»(t)=-\omega^2x(t).$$
Следовательно, функция вида $$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$ действительно является решением уравнения $$x»(t)=-\omega^2x(t).$$
Остаётся подобрать параметры $$A$$ и $$\varphi$$ так, чтобы выполнялись начальные условия $$x(0)=x_0$$ и $$x'(0)=v_0$$. Подставим $$t=0$$:
$$A\cos\varphi=x_0,$$
$$-\omega A\sin\varphi=v_0.$$
Из этих равенств можно выбрать $$A$$ и $$\varphi$$ так, чтобы система выполнялась, например, при
$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}},$$
а угол $$\varphi$$ определить из условий
$$\cos\varphi=\frac{x_0}{A}, \qquad \sin\varphi=-\frac{v_0}{\omega A}.$$
Тогда искомое решение существует.
Ответ: существует решение вида $$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$, причём при подходящем выборе $$A$$ и $$\varphi$$ оно удовлетворяет условиям $$x(0)=x_0$$, $$x'(0)=v_0$$.
