Упр.260 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Неоднородный стержень $$AB$$ имеет длину $$12\ \text{см}$$. Масса его части $$AM$$ растет пропорционально квадрату расстояния точки $$M$$ от конца $$A$$ и равна $$10\ \text{г}$$ при $$AM=2\ \text{см}$$. Найдите: 1) массу всего стержня $$AB$$ и линейную плотность в любой его точке; 2) линейную плотность стержня в точках $$A$$ и $$B$$.

Пусть $$m(x)$$ — масса части стержня $$AM$$ длиной $$x$$ см. По условию масса пропорциональна квадрату расстояния от точки $$A$$, значит

$$m(x)=kx^2.$$

Из условия $$m(2)=10$$ получаем:

$$10=k\cdot 2^2=4k,$$

откуда

$$k=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.$$

Ход решения

Тогда

$$m(x)=\frac{5}{2}x^2.$$

Линейная плотность стержня равна производной массы по длине:

$$\rho(x)=m'(x)=\left(\frac{5}{2}x^2\right)’=5x.$$

1) Масса всего стержня:

$$m(12)=\frac{5}{2}\cdot 12^2=\frac{5}{2}\cdot 144=360\text{ г}.$$

Линейная плотность в любой точке:

$$\rho(x)=5x\text{ г/см}.$$

2) Линейная плотность в точках $$A$$ и $$B$$:

$$\rho(0)=5\cdot 0=0,$$

$$\rho(12)=5\cdot 12=60.$$

Ответ

$$360\text{ г};\ \rho(x)=5x\text{ г/см};\ \rho(A)=0,\ \rho(B)=60\text{ г/см}.$$