Упр.260 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 260. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части АМ растет пропорционально квадрату расстояния точки М от конца А и равна 10 г при АМ=2 см. Найдите: 1) массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке; 2) линейную плотность стержня в точках А и В.

Обозначим через $$x$$ расстояние точки $$M$$ от конца $$A$$ стержня. Тогда масса части $$AM$$ равна

$$m(x)=kx^2,$$

где $$k$$ — постоянный коэффициент.

Из условия $$m(2)=10$$ получаем:

$$10=k\cdot 2^2=4k,$$

откуда

$$k=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.$$

Тогда масса всего стержня:

$$m(12)=\frac{5}{2}\cdot 12^2=\frac{5}{2}\cdot 144=360\text{ г}.$$

Линейная плотность равна производной массы по длине:

$$\rho(x)=m'(x)=\left(\frac{5}{2}x^2\right)’=5x.$$

Следовательно, в точках $$A$$ и $$B$$:

$$\rho(0)=5\cdot 0=0,$$

$$\rho(12)=5\cdot 12=60.$$

Ответ

1) $$360\text{ г},\ \rho(x)=5x\text{ г/см}.$$

2) $$\rho(A)=0\text{ г/см},\ \rho(B)=60\text{ г/см}.$$