Упр.260 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём угол, под которым касательная в точке пересечения графика с осью $$Oy$$ образует эту ось. Для этого сначала находим производную и значение углового коэффициента касательной в точке $$x=0$$.

а)

$$f(x)=\frac{1}{x-1}$$

Точка пересечения с осью $$Oy$$ соответствует $$x=0$$.

$$f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}, \qquad f'(0)=-\frac{1}{(0-1)^2}=-1.$$

Значит, $$\tan \alpha=-1$$, откуда угол наклона касательной к оси $$Ox$$ равен $$\frac{3\pi}{4}$$. Тогда угол с осью $$Oy$$:

$$\beta=\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$$

б)

$$f(x)=\frac{1}{2}\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}, \qquad f'(0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=1.$$

Следовательно, $$\tan \alpha=1$$, значит, угол наклона касательной к оси $$Ox$$ равен $$\frac{\pi}{4}$$. Тогда угол с осью $$Oy$$:

$$\beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$$

в)

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2$$

$$f'(x)=x-1, \qquad f'(0)=-1.$$

Как и в пункте а), $$\tan \alpha=-1$$, значит, угол между касательной и осью $$Oy$$ равен

$$\beta=\frac{\pi}{4}.$$

г)

$$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$

$$f'(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right), \qquad f'(0)=2\cos\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}.$$

Тогда $$\tan \alpha=\sqrt{3}$$, откуда $$\alpha=\frac{\pi}{3}$$. Угол с осью $$Oy$$:

$$\beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{4}$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$; в) $$\frac{\pi}{4}$$; г) $$\frac{\pi}{6}$$.