Упр.26 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Преобразуем левую часть, используя формулы половинного аргумента и основное тригонометрическое тождество:

$$\cos t=\frac{\cos t}{1}=\frac{\cos^2 \frac{t}{2}-\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}+\sin^2 \frac{t}{2}}.$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos^2 \frac{t}{2}$$:

$$\cos t=\frac{1-\tg^2 \frac{t}{2}}{1+\tg^2 \frac{t}{2}}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Используем формулу $$\sin \beta=2\sin \frac{\beta}{2}\cos \frac{\beta}{2}$$ и основное тригонометрическое тождество:

$$\sin \beta =2\sin \frac{\beta}{2}\cos \frac{\beta}{2} =2\cdot \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}\cdot \cos^2 \frac{\beta}{2} =2\tg \frac{\beta}{2}\cdot \frac{\cos^2 \frac{\beta}{2}}{\cos^2 \frac{\beta}{2}+\sin^2 \frac{\beta}{2}}.$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos^2 \frac{\beta}{2}$$:

$$\sin \beta=\frac{2\tg \frac{\beta}{2}}{1+\tg^2 \frac{\beta}{2}}.$$

Что и требовалось доказать.