Упр.259 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 259. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы, с каким ускорением?

Пусть $$x(t)$$ — расстояние от стены до нижнего конца лестницы, а $$y(t)$$ — высота верхнего конца над полом. Тогда по условию

$$x(t)=2t,$$

так как нижний конец скользит со скоростью $$2\ \text{м/с}$$.

Длина лестницы постоянна и равна $$5\ \text{м}$$, значит

$$x^2+y^2=25.$$

Подставим $$x(t)=2t$$:

$$y(t)=\sqrt{25-4t^2}.$$

Найдём скорость опускания верхнего конца:

$$y'(t)=\frac{d}{dt}\sqrt{25-4t^2}=\frac{-4t}{\sqrt{25-4t^2}}.$$

Значит, модуль скорости опускания равен

$$v(t)=\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}\ \text{м/с}.$$

Теперь найдём ускорение:

$$y»(t)=\frac{d}{dt}\left(-4t(25-4t^2)^{-1/2}\right).$$

Тогда

$$ y»(t)= -4(25-4t^2)^{-1/2}-16t^2(25-4t^2)^{-3/2} $$

$$ = \frac{-4(25-4t^2)-16t^2}{(25-4t^2)^{3/2}} = -\frac{100}{(25-4t^2)^{3/2}}. $$

Следовательно, ускорение по модулю равно

$$a(t)=\frac{100}{(25-4t^2)^{3/2}}\ \text{м/с}^2.$$

Ответ

$$\frac{4t}{\sqrt{25-4t^2}}\ \text{м/с};\quad \frac{100}{(25-4t^2)^{3/2}}\ \text{м/с}^2.$$