Упр.259 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что полная энергия $$E=mv^2/2+u(x)$$ материальной точки массой $$m$$, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется (потенциальная энергия — $$u(x)$$).

Пусть $$x=x(t)$$ — координата точки, $$v(t)=x'(t)$$ — её скорость, а $$a(t)=v'(t)=x»(t)$$ — ускорение. Тогда полная энергия равна

$$E(t)=\frac{mv^2}{2}+u(x).$$

Найдём производную по времени:

$$E'(t)=\frac{m\cdot 2v v’}{2}+u'(x)\,x’ =mvv’+u'(x)v.$$

Так как движение происходит по второму закону Ньютона, то

$$ma=F,$$

а для потенциальной энергии $$u(x)$$ сила выражается как

$$F=-u'(x).$$

Следовательно,

$$ma=-u'(x).$$

Подставим это в выражение для производной энергии:

$$E'(t)=v\bigl(ma+u'(x)\bigr)=v\bigl(-u'(x)+u'(x)\bigr)=0.$$

Значит, $$E(t)$$ не зависит от времени, то есть

$$E(t)=C,$$

где $$C$$ — постоянная.

Ответ

$$E(t)=\frac{mv^2}{2}+u(x)=C,$$ то есть полная энергия сохраняется.