Упр.258 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 258. Концы отрезка АВ длиной 5 м скользят по координатным осям. Скорость перемещения конца А равна 2 м/с. Какова величина скорости перемещения конца В в тот момент, когда конец А находится от начала координат на расстоянии 3 м?

Подробный ответ

Пусть конец A движется по оси $$Ox$$, а конец B — по оси $$Oy$$. Обозначим через $$x$$ расстояние от начала координат до точки $$A$$, а через $$y$$ — расстояние от начала координат до точки $$B$$.

Так как длина отрезка $$AB$$ равна $$5$$ м, то

$$x^2+y^2=25.$$

Скорость конца $$A$$ равна $$2$$ м/с, значит

$$\frac{dx}{dt}=2.$$

Найдём скорость конца $$B$$. Дифференцируем равенство $$x^2+y^2=25$$ по времени:

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0.$$

Отсюда

$$\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

В момент, когда $$x=3$$ м, имеем

$$y=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4.$$

Тогда

$$\frac{dy}{dt}=-\frac{3}{4}\cdot 2=-\frac{3}{2}.$$