Упр.258 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть при движении по прямой тело массой $$m$$ в точке с координатой $$x$$ обладает потенциальной энергией $$u(x)$$. Докажите, что:

а) координата $$x(t)$$ тела при движении по прямой удовлетворяет дифференциальному уравнению $$mx»(t)=-u'(x)$$;

б) потенциальная энергия $$u(x)$$ материальной точки массой $$m$$, совершающей гармоническое колебание $$x»=-\omega^2x$$, равна $$\frac{kx^2}{2}$$, где $$k=m\omega^2$$ (положите $$u(0)=0$$).

Пусть при движении по прямой тело массой $$m$$ в точке с координатой $$x$$ обладает потенциальной энергией $$u(x)$$.

Сила, действующая на тело, равна производной потенциальной энергии с противоположным знаком:

$$F(x)=-u'(x).$$

С другой стороны, по второму закону Ньютона

$$F(x)=mx»(t).$$

Следовательно,

$$mx»(t)=-u'(x).$$

Ответ

а) $$mx»(t)=-u'(x).$$

б) Если тело совершает гармонические колебания, то

$$x»=-\omega^2x.$$

Тогда из пункта а) получаем

$$u'(x)=-mx»=m\omega^2x.$$

Интегрируя, находим

$$u(x)=\frac{m\omega^2x^2}{2}+C.$$

По условию $$u(0)=0$$, значит $$C=0$$. Поэтому

$$u(x)=\frac{m\omega^2x^2}{2}=\frac{kx^2}{2}, \qquad k=m\omega^2.$$