Упр.257 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 257. Два тела начали движение по прямой одновременно из одной точки. Скорость первого v(t)=3t^2-6t, второго v(t)=10t+20. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча? (Скорость измеряется в метрах в секунду.)

Найдём пути, пройденные телами от начальной точки. Так как скорость равна производной пути, то

$$S_1′(t)=3t^2-6t,\qquad S_2′(t)=10t+20.$$

Интегрируем:

$$S_1(t)=\int (3t^2-6t)\,dt=t^3-3t^2+C_1,$$
$$S_2(t)=\int (10t+20)\,dt=5t^2+20t+C_2.$$

Так как в начальный момент тела находились в одной точке, то

$$S_1(0)=S_2(0)=0,$$

откуда

$$C_1=C_2=0.$$

Момент встречи найдём из равенства путей:

$$t^3-3t^2=5t^2+20t,$$
$$t^3-8t^2-20t=0,$$
$$t(t^2-8t-20)=0.$$

Кроме момента $t=0$, получаем

$$t^2-8t-20=0.$$

$$D=64+80=144,$$
$$t=\frac{8\pm 12}{2}.$$

Положительное решение:

$$t=10.$$

Найдём расстояние от начальной точки:

$$S(10)=10^3-3\cdot 10^2=1000-300=700.$$

Ответ

$$10\text{ с};\ 700\text{ м}.$$