Упр.257 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 257. Из пункта А по двум прямым, угол между которыми 60°, одновременно начали двигаться два тела. Первое движется равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону s(t)=2t^2-t. С какой скоростью они удаляются друг от друга в момент t=3 ч? (s измеряется в километрах, t — в часах.)

Подробный ответ

Пусть расстояние между телами в момент времени $$t$$ равно $$S(t)$$. Тогда по теореме косинусов при угле $$60^\circ$$ получаем:

$$ S^2(t)=(5t)^2+(2t^2-t)^2-2\cdot 5t\cdot (2t^2-t)\cos 60^\circ. $$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, имеем:

$$ S^2(t)=25t^2+(2t^2-t)^2-5t(2t^2-t). $$

Раскроем скобки:

$$ S^2(t)=25t^2+4t^4-4t^3+t^2-10t^3+5t^2 =4t^4-14t^3+31t^2. $$

Значит,

$$ S(t)=\sqrt{4t^4-14t^3+31t^2}. $$

Найдём производную:

$$ S'(t)=\frac{16t^3-42t^2+62t}{2\sqrt{4t^4-14t^3+31t^2}}. $$

Подставим $$t=3$$:

$$ S'(3)=\frac{16\cdot 27-42\cdot 9+62\cdot 3}{2\sqrt{4\cdot 81-14\cdot 27+31\cdot 9}} =\frac{432-378+186}{2\sqrt{324-378+279}} =\frac{240}{2\sqrt{225}} =\frac{240}{30}=8. $$

Следовательно, в момент $$t=3$$ ч тела удаляются друг от друга со скоростью $$8$$ км/ч.