Упр.257 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть $$f'(x)=0.$$ Найдём такие точки для каждой функции.
$$f(x)=x^3-3x^2+3x.$$
$$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2.$$
$$3(x-1)^2=0 \Rightarrow x=1.$$
$$y=f(1)=1^3-3\cdot 1^2+3\cdot 1=1.$$
Точка: $$\,(1;1).$$
$$f(x)=\frac12 x^4+16x.$$
$$f'(x)=2x^3+16.$$
$$2x^3+16=0 \Rightarrow x^3=-8 \Rightarrow x=-2.$$
$$y=f(-2)=\frac12\cdot(-2)^4+16\cdot(-2)=8-32=-24.$$
Точка: $$\,(-2;-24).$$
$$f(x)=3x^4-6x^2+2.$$
$$f'(x)=12x^3-12x=12x(x-1)(x+1).$$
$$12x(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=0,\; x=1,\; x=-1.$$
$$y=f(0)=2,$$
$$y=f(1)=3-6+2=-1,$$
$$y=f(-1)=3-6+2=-1.$$
Точки: $$\,(0;2),\ (1;-1),\ (-1;-1).$$
$$f(x)=x^3-3x+1.$$
$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$
$$3(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=1,\; x=-1.$$
$$y=f(1)=1-3+1=-1,$$
$$y=f(-1)=-1+3+1=3.$$
Точки: $$\,(1;-1),\ (-1;3).$$
Ответ: а) $$\,(1;1),$$ б) $$\,(-2;-24),$$ в) $$\,(0;2),\ (1;-1),\ (-1;-1),$$ г) $$\,(1;-1),\ (-1;3).$$
