Упр.256 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 256. Докажите, что четная непрерывная функция, определенная на [-а; а], имеет по крайней мере одну нечетную первообразную.

Пусть $$f(x)$$ — чётная непрерывная функция на $$[-a;a]$$, то есть $$f(-x)=f(x)$$.

Возьмём любую первообразную $$F(x)$$ функции $$f(x)$$ на этом промежутке. Рассмотрим функцию

$$G(x)=F(x)+F(-x).$$

Тогда

$$G'(x)=F'(x)-F'(-x)=f(x)-f(-x)=0,$$

значит, $$G(x)=C$$ — постоянная.

Подставим $$x=0$$:

$$G(0)=F(0)+F(0)=2F(0)=C.$$

Теперь рассмотрим функцию

$$\Phi(x)=F(x)-F(0).$$

Она тоже является первообразной функции $$f(x)$$, так как

$$\Phi'(x)=F'(x)=f(x).$$

Проверим её чётность:

$$\Phi(-x)=F(-x)-F(0)=C-F(x)-F(0).$$

Так как $$C=2F(0)$$, получаем

$$\Phi(-x)=F(0)-F(x)=-\bigl(F(x)-F(0)\bigr)=-\Phi(x).$$

Следовательно, $$\Phi(x)$$ — нечётная первообразная функции $$f(x)$$.

Ответ

У чётной непрерывной функции на $$[-a;a]$$ существует по крайней мере одна нечётная первообразная.