Упр.255 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что любая первообразная нечётной непрерывной функции, определённая на $$[-a; a]$$, является чётной функцией.

Пусть $$f(x)$$ — нечётная непрерывная функция на $$[-a;a]$$, а $$F(x)$$ — её первообразная, то есть $$F'(x)=f(x)$$.

Рассмотрим функцию $$G(x)=F(x)-F(-x).$$ Тогда

$$G'(x)=F'(x)+F'(-x)\cdot(-1)=f(x)-f(-x).$$

Так как $$f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(-x)=-f(x)$$, значит

$$G'(x)=f(x)-(-f(x))=0.$$

Следовательно, $$G(x)$$ — постоянная функция:

$$G(x)=C.$$

Найдём эту константу при $$x=0$$:

$$G(0)=F(0)-F(0)=0,$$

значит, $$C=0$$. Тогда

$$F(x)-F(-x)=0,$$

то есть

$$F(-x)=F(x).$$

Следовательно, любая первообразная нечётной непрерывной функции является чётной.

Ответ

$$F(-x)=F(x),$$ значит, любая первообразная нечётной непрерывной функции — чётная функция.