Упр.254 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. По прямой движутся две точки. Определите промежуток времени, в течение которого скорость первой точки была меньше скорости второй, если:
   а) $$x_1(t)=2\frac{2}{3}t^3$$, $$x_2(t)=2t-3$$;
   б) $$x_1(t)=9t^2+1$$, $$x_2(t)=t^3$$.

Найдём скорости точек как производные их координат по времени.

а)

$$x_1(t)=2\frac{2}{3}t^3=\frac{8}{3}t^3,\qquad x_2(t)=2t-3.$$

Тогда

$$x_1′(t)=8t^2,\qquad x_2′(t)=2.$$

Ищем, когда скорость первой точки меньше скорости второй:

$$8t^2<2$$

$$t^2<\frac14$$

$$|t|<\frac12.$$

Так как время $$t>0$$, получаем

$$0<t<\frac12.$$

б)

$$x_1(t)=9t^2+1,\qquad x_2(t)=t^3.$$

Тогда

$$x_1′(t)=18t,\qquad x_2′(t)=3t^2.$$

Решаем неравенство

$$18t<3t^2$$

$$6t<t^2$$

$$t^2-6t>0$$

$$t(t-6)>0.$$

С учётом того, что $$t>0$$, получаем

$$t>6.$$

Ответ

а) $$\left(0;\frac12\right)$$; б) $$\left(6;+\infty\right)$$.