Упр.252 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 252. На параболе y=x^2 найдите точку, расстояние от которой до точки А(2; 0,5) наименьшее.

Пусть точка на параболе $$y=x^2$$ имеет абсциссу $$x$$. Тогда её координаты: $$\left(x;\,x^2\right)$$.

Расстояние от этой точки до точки $$A(2;\,0{,}5)$$ равно

$$S(x)=\sqrt{(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2}.$$

Найдём минимум удобнее для квадрата расстояния:

$$S^2(x)=(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2=x^2-4x+4+x^4-x^2+0{,}25=x^4-4x+4{,}25.$$

Так как функция $$S(x)$$ возрастает вместе с $$S^2(x)$$, достаточно минимизировать $$S^2(x)$$.

Рассмотрим производную:

$$\left(S^2(x)\right)’=4x^3-4.$$

Приравняем её к нулю:

$$4x^3-4=0$$
$$x^3=1$$
$$x=1.$$

Тогда

$$y=x^2=1.$$

Следовательно, искомая точка параболы — $$\left(1;\,1\right)$$.

Ответ

$$\left(1;\,1\right)$$