Упр.252 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите все первообразные для функции f на $$\mathbb{R}$$:
   а) $$f(x)=x\sqrt{1+x^2}$$;
   б) $$f(x)=xe^{-x^2}$$;
   в) $$f(x)=\operatorname{ctg}(x),\ x\in(0;\pi)$$;
   г) $$f(x)=\operatorname{tg}(x),\ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$.

а) $$f(x)=x\sqrt{1+x^2}.$$

Сделаем замену: $$u=1+x^2,$$ тогда $$du=2x\,dx.$$

Тогда

$$\int x\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac12\int u^{1/2}\,du=\frac12\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C.$$

б) $$f(x)=xe^{-x^2}.$$

Заметим, что $$d(-x^2)=-2x\,dx,$$ поэтому

$$\int xe^{-x^2}\,dx=-\frac12\int e^{-x^2}\,d(x^2)=-\frac12 e^{-x^2}+C.$$

в) $$f(x)=\ctg x,\quad x\in(0;\pi).$$

Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ то

$$\int \ctg x\,dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\ln(\sin x)+C.$$

На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ величина $$\sin x>0,$$ поэтому модуль не нужен.

г) $$f(x)=\tg x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

Имеем $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$ Тогда

$$\int \tg x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\ln(\cos x)+C.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ выполняется $$\cos x>0,$$ поэтому модуль также не нужен.

Ответ:

а) $$F(x)=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C;$$

б) $$F(x)=-\frac12e^{-x^2}+C;$$

в) $$F(x)=\ln(\sin x)+C;$$

г) $$F(x)=-\ln(\cos x)+C.$$