Упр.251 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

Пусть $$a$$ — угол при основании равнобедренного треугольника.

Тогда площадь треугольника равна

$$S=\frac12 b\cdot \frac b2 \tg a=\frac{b^2\tg a}{4},$$

откуда

$$b=\frac{2\sqrt S}{\sqrt{\tg a}}.$$

Радиус вписанного круга:

$$r=\frac b2 \tg \frac a2=\frac{\sqrt S}{\sqrt{\tg a}}\tg \frac a2.$$

Используем формулу

$$\tg a=\frac{2\tg \frac a2}{1-\tg^2 \frac a2}.$$

Обозначим $$x=\tg \frac a2$$. Тогда

$$r^2=S\cdot \frac{x^2}{\tg a}=S\cdot \frac{x^2\left(1-x^2\right)}{2x}=\frac S2\left(x-x^3\right).$$

Следовательно, нужно найти максимум функции

$$p(x)=x-x^3,\qquad 0<x<\infty.$$

Производная:

$$p'(x)=1-3x^2.$$

Приравниваем к нулю:

$$1-3x^2=0,\qquad x=\frac1{\sqrt3}.$$

Так как

$$x=\tg \frac a2,$$

то

$$\tg \frac a2=\frac1{\sqrt3},\qquad \frac a2=30^\circ,\qquad a=60^\circ.$$

Итак, радиус вписанного круга наибольший, когда угол при вершине равен

$$180^\circ-2a=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$