Упр.251 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=|x|; б) f(x)=|x-1|; в) f(x)=|x^2-1|.

а) $$f(x)=|x|.$$

Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и первообразная имеет вид $$F(x)=\frac{x^2}{2}+C.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и первообразная имеет вид $$F(x)=-\frac{x^2}{2}+C.$$

Обе записи объединяются в одну формулу:

$$F(x)=\frac{x|x|}{2}+C.$$

б) $$f(x)=|x-1|.$$

Если $$x \ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ поэтому

$$F(x)=\int (x-1)\,dx=\frac{x^2}{2}-x+C.$$

Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ поэтому

$$F(x)=\int (1-x)\,dx=x-\frac{x^2}{2}+C.$$

Чтобы первообразная была одной и той же функцией на всей прямой, подберём константу для второй части так, чтобы значения совпадали при $$x=1$$:

$$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2},$$

значит, для $$x<1$$ нужно взять константу $$C-1.$$ Тогда

$$ F(x)= \begin{cases} \frac{x^2}{2}-x+C, & x \ge 1,\\ x-\frac{x^2}{2}+C-1, & x<1. \end{cases} $$

в) $$f(x)=|x^2-1|.$$

Если $$|x| \ge 1,$$ то $$|x^2-1|=x^2-1,$$ и

$$F(x)=\int (x^2-1)\,dx=\frac{x^3}{3}-x+C.$$

Если $$|x| \le 1,$$ то $$|x^2-1|=1-x^2,$$ и

$$F(x)=\int (1-x^2)\,dx=x-\frac{x^3}{3}+C.$$

Согласуем константы в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$.

При $$x=-1$$:

$$-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3},$$

поэтому для средней части нужно прибавить $$\frac{4}{3}.$$

При $$x=1$$:

$$1-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=2,$$

а для правой части нужно прибавить $$\frac{8}{3}.$$

Итак,

$$ F(x)= \begin{cases} \frac{x^3}{3}-x+C, & x \le -1,\\ x-\frac{x^3}{3}+\frac{4}{3}+C, & -1<x<1,\\ \frac{x^3}{3}-x+\frac{8}{3}+C, & x \ge 1. \end{cases} $$

Ответ

а) $$F(x)=\frac{x|x|}{2}+C.$$

б) $$F(x)= \begin{cases} \frac{x^2}{2}-x+C, & x \ge 1,\\ x-\frac{x^2}{2}+C-1, & x<1. \end{cases}$$

в) $$F(x)= \begin{cases} \frac{x^3}{3}-x+C, & x \le -1,\\ x-\frac{x^3}{3}+\frac{4}{3}+C, & -1<x<1,\\ \frac{x^3}{3}-x+\frac{8}{3}+C, & x \ge 1. \end{cases}$$