Упр.250 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. На окружности дана точка $$A$$. Провести хорду $$BC$$, параллельную касательной в точке $$A$$, так, чтобы площадь треугольника $$ABC$$ была наибольшей.

Пусть $$h$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Тогда из прямоугольного треугольника получаем:

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2=h(2R-h),$$

откуда

$$a=2\sqrt{2Rh-h^2}.$$

Площадь треугольника равна

$$S(h)=\frac12 ah=\frac12\cdot 2h\sqrt{2Rh-h^2}=h\sqrt{2Rh-h^2}.$$

Найдём максимум функции $$S(h)$$:

$$S'(h)=\sqrt{2Rh-h^2}+\frac{h(2R-2h)}{2\sqrt{2Rh-h^2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S'(h)=\frac{2Rh-h^2+Rh-h^2}{\sqrt{2Rh-h^2}}=\frac{3Rh-2h^2}{\sqrt{2Rh-h^2}}.$$

Для максимума достаточно рассмотреть числитель:

$$3Rh-2h^2\ge 0,$$

откуда

$$h\le \frac{3R}{2}.$$

Следовательно, наибольшая площадь получается при

$$h=\frac{3R}{2}.$$

Значит, хорду $$BC$$ нужно провести на расстоянии $$1{,}5R$$ от точки $$A$$.

Ответ: на расстоянии $$1{,}5R$$.