Упр.250 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 250. Опишите множество точек M_k координатной плоскости, где M_k (k=0, 1, 2, …) — множество точек М(х; у), таких, что из точки М(х; у) можно провести в точности k касательных к параболе y=x^2.

Пусть касательная к параболе $$y=x^2$$ проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда

$$y(a)=a^2,\qquad y'(a)=2a.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2.$$

Точка $$M(x;y)$$ лежит на такой касательной тогда и только тогда, когда уравнение относительно $$a$$

$$y=2ax-a^2$$

имеет действительные решения. Перепишем его:

$$a^2-2xa+y=0.$$

Дискриминант этого квадратного уравнения:

$$D=(2x)^2-4y=4(x^2-y).$$

Следовательно:

• если $$y>x^2$$, то $$D<0$$, касательных нет;
• если $$y=x^2$$, то $$D=0$$, касательная одна;
• если $$y<x^2$$, то $$D>0$$, касательных две.

Значит, множество точек, из которых можно провести ровно $$k$$ касательных к параболе $$y=x^2$$, имеет вид:

$$M_0=\{(x;y)\mid y>x^2\},\qquad M_1=\{(x;y)\mid y=x^2\},\qquad M_2=\{(x;y)\mid y<x^2\}.$$

При $$k\ge 3$$ таких точек нет.

Ответ

$$M_0=\{y>x^2\},\quad M_1=\{y=x^2\},\quad M_2=\{y<x^2\},\quad M_k=\varnothing,\ k\ge 3.$$