Упр.250 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 250. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей.

Обозначим через $$h$$ высоту треугольника $$ABC$$, опущенную из вершины $$A$$ на хорду $$BC$$. Так как хорда $$BC$$ параллельна касательной в точке $$A$$, то расстояние от центра окружности до хорды равно $$R-h$$, а длина хорды выражается формулой

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2=h(2R-h),$$

откуда

$$a=2\sqrt{2Rh-h^2}.$$

Тогда площадь треугольника

$$S(h)=\frac12 ah=\frac12 \cdot 2h\sqrt{2Rh-h^2}=h\sqrt{2Rh-h^2}.$$

Найдём, при каком $$h$$ эта площадь наибольшая. Рассмотрим производную:

$$S'(h)=\sqrt{2Rh-h^2}+\frac{h(2R-2h)}{2\sqrt{2Rh-h^2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S'(h)=\frac{2Rh-h^2+Rh-h^2}{\sqrt{2Rh-h^2}}=\frac{3Rh-2h^2}{\sqrt{2Rh-h^2}}.$$

Для максимума достаточно, чтобы производная была неотрицательной, то есть

$$3Rh-2h^2\ge 0,$$

$$h(3R-2h)\ge 0.$$

Так как $$h>0$$, получаем

$$3R-2h\ge 0,\qquad h\le \frac{3R}{2}.$$

Следовательно, наибольшая площадь получается при

$$h=\frac{3R}{2}.$$

Значит, хорду $$BC$$ нужно провести на расстоянии

$$R-h=R-\frac{3R}{2}=-\frac{R}{2}$$

от центра, то есть искомое положение соответствует расстоянию $$1{,}5R$$ от точки касания по направлению к центру.

Ответ

На расстоянии $$1{,}5R$$.