Упр.250 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Опишите множество точек $$M_k$$ координатной плоскости, где $$M_k$$ ($$k=0,1,2,\ldots$$) — множество точек $$M(x;y)$$, таких, что из точки $$M(x;y)$$ можно провести в точности $$k$$ касательных к параболе $$y=x^2$$.

Пусть касательная к параболе $$y=x^2$$ проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда уравнение касательной имеет вид

$$y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2.$$

Если точка $$M(x;y)$$ лежит на этой касательной, то

$$y=2ax-a^2.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$a$$:

$$a^2-2xa+y=0.$$

Чтобы из точки $$M(x;y)$$ можно было провести касательные к параболе, это уравнение должно иметь действительные корни. Тогда

$$D=(2x)^2-4y\ge 0,$$

то есть

$$y\le x^2.$$

Теперь разберём число касательных:

• если $$y<x^2$$, то дискриминант положителен, и существует две касательные;
• если $$y=x^2$$, то дискриминант равен нулю, и касательная одна;
• если $$y>x^2$$, то действительных касательных нет.

Следовательно,

$$M_0=\{(x;y)\mid y>x^2\},$$

$$M_1=\{(x;y)\mid y=x^2\},$$

$$M_2=\{(x;y)\mid y<x^2\},$$

а для $$k\ge 3$$

$$M_k=\varnothing.$$

Ответ

$$M_0=\{(x;y)\mid y>x^2\},\quad M_1=\{(x;y)\mid y=x^2\},\quad M_2=\{(x;y)\mid y<x^2\},\quad M_k=\varnothing,\ k\ge 3.$$