Упр.25 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 1/(v2+3^(1/3)); б) 1/(v2+v3+v5); в) 1/(2^(1/3)+5^(1/3)+7^(1/3)).

Подробный ответ

а) Умножим дробь на сопряжённое выражение:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}}= \frac{2-\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}{(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})(2-\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})} $$

Знаменатель преобразуем:

$$ (\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})(2-\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})=2\sqrt{2}+3 $$

Тогда

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}}= \frac{2-\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}{2\sqrt{2}+3} $$

Умножим числитель и знаменатель на $$2\sqrt{2}-3$$:

$$ \frac{2-\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}{2\sqrt{2}+3} = \frac{(2-\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})(2\sqrt{2}-3)}{8-9} $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}}= (2-\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})(3-2\sqrt{2}) $$

б) Умножим дробь на сопряжённое выражение:

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} $$

В знаменателе получаем:

$$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-5=2+2\sqrt{6}+3-5=2\sqrt{6} $$

Тогда

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}\,(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{12} $$

в) Обозначим

$$ t=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7} $$

Тогда

$$ \frac{1}{t}= \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{49}-\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{35}-\sqrt[3]{14}} {(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{49}-\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{35}-\sqrt[3]{14})} $$

Знаменатель равен

$$ 2+5+7-3\sqrt[3]{2\cdot 5\cdot 7}=14-3\sqrt[3]{70} $$

Умножим ещё на сопряжённое выражение:

$$ \frac{1}{t}= \frac{t\,(196+42\sqrt[3]{70}+9\sqrt[3]{4900})}{2744-27\cdot 70} $$

Так как

$$ 2744-27\cdot 70=854, $$

получаем

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}= \frac{(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{49}-\sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{35}-\sqrt[3]{14})(196+42\sqrt[3]{70}+9\sqrt[3]{4900})}{854} $$