Упр.25 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
1) а) sin(x) > v2/2; б) 2cos(x)+1 < 0; в) tg(x) < v3;
2) а) sin(x/2)cos(x/2) > -1/4; б) (sin(x/2)-cos(x/2))^2?1/2;
в) 2sin^2(x/2)?1/2; г) cos^2(x/2)-sin^2(x/2)?-v3/2.
а) $$\sin x>\frac{\sqrt2}{2}.$$
На единичной окружности это точки с ординатой больше $$\frac{\sqrt2}{2}$$, поэтому
$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$2\cos x+1<0.$$
$$\cos x<-\frac12.$$
Тогда
$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg x<\sqrt3.$$
На промежутке монотонности тангенса получаем
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}>-\frac14.$$
Используем формулу $$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin x$$:
$$ \sin x>-\frac12. $$
Следовательно,
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2\le \frac12.$$
$$ \sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\le \frac12 $$
$$ 1-\sin x\le \frac12 $$
$$ \sin x\ge \frac12. $$
Значит,
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$2\sin^2\frac{x}{2}\le \frac12.$$
$$ 1-\cos x\le \frac12 $$
$$ \cos x\ge \frac12. $$
Отсюда
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\ge -\frac{\sqrt3}{2}.$$
Используем формулу $$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x$$:
$$\cos x\ge -\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) а) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$; б) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
2) а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$; б) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n$$; в) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
